3 Existence quand $U=0$

Existence quand $U=0$

On introduit la famille des modes propres $\{ w_ i\} $ solution de:

\[ \boxed {\begin{array}{l}w\in V\subset H^{1}(\Omega ),m(w,w)=1,\forall v\in V,\lambda m(w,v)=a(w,v),\\ \hbox{ avec: } m(u,v)=\displaystyle \int _\Omega uv,a(u,v)=\displaystyle \int _\Omega c^2(\nabla u,\nabla v).\end{array}} \]

Même si $\lambda =0$ (pas de condition de Dirichlet sur $\partial \Omega $), est valeur propre, on a une base Hilbertienne de $L^2(\Omega )$ (voir cours 5). On cherche alors la solution approchée sous la forme:

\[ \varphi (x,t)=\displaystyle \sum _{i\geq 1}\alpha _ i(t)w_ i(x), \]

ce qui conduit, grâce à l’orthogonalité des fonctions $w_ i$ vis-à-vis des formes bilinéaires $m(.,.)$ et de $a(.,.)$, à:

\[ \boxed {\ddot\alpha _ i+\lambda _ i\alpha _ i=0,\alpha _ i(0)=m(\varphi _0,w_ i),\dot\alpha _ i(0)=m(\varphi _1,w_ i).} \]

 
Remarque cas avec second membre $f$ :

L’équation ci-dessus serait remplacée par: $\ddot\alpha _ i+\lambda _ i\alpha _ i=f_ i=\displaystyle \int _\Omega fw_ i.$

Existence lorsque $U=0$ (suite)

Un simple calcul donne (+ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt {\lambda _ i}}\displaystyle \int _0^ tf_ i(s)\sin (\sqrt {\lambda _ i}(t-s))ds$ si $f\neq 0$):

\[ \boxed {\alpha _ i(t)=\alpha _ i(0)\cos (\sqrt {\lambda _ i}t)+\displaystyle \frac{\dot\alpha _ i(0)}{\sqrt {\lambda _ i}}\sin (\sqrt {\lambda _ i t})} \]

La suite des solutions approchées $\varphi ^ N$ est de Cauchy dans l’espace ${\cal C}^0([0,t_ f];H^1(\Omega ))\cap {\cal C}^1([0,t_ f];L^2(\Omega ))$. En effet, $\forall N,P$:

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\vert \vert \displaystyle \frac{\partial (\varphi ^{N+P}-\varphi ^ N)}{\partial t}\vert \vert _{0,2,\Omega }^2(t)+\vert \vert \varphi ^{N+P}-\varphi ^ N\vert \vert _{1,2,\Omega }^2(t)\\ \hskip113.811023622pt\leq 4\displaystyle \sum _{i=N,N+P}[\lambda _ i\vert \alpha _ i(0)\vert ^2+\vert \dot\alpha _ i(0)\vert ^2].\end{array}} \]

Puisque les suites $\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha _ i(0)w_ i$ et $\displaystyle \sum _{i=1,N}\dot\alpha _ i(0)$ sont de Cauchy dans les espaces $H^1(\Omega )$ et $L^2(\Omega )$, les suites $\varphi ^ N$ et $\displaystyle \frac{\partial \varphi ^ N}{\partial t}$ sont aussi de Cauchy dans ${\cal C}^0([0,t_ f];H^1(\Omega ))$ et ${\cal C}^1([0,t_ f];L^2(\Omega ))$. Le passage à la limite se fait comme dans le cas de l’équation de la chaleur (voir cours 9).