1 Le modèle de propagation d’ondes

Le modèle de propagation d’ondes

On considère un tube droit dans lequel il y a un écoulement. On note $\varphi $ une fonction de $x\in \Omega $ et $t\geq 0$, qui est un potentiel de perturbation de la vitesse des particules d’air. La vitesse moyenne de l’écoulement est $U$. Le modèle est (la solution statique est $\varphi _ s(x)=Ux_1$):

\[ \boxed {\begin{array}{l}\displaystyle \frac{\partial ^2 \varphi }{\partial t^2}+2U\displaystyle \frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial x_1\partial t}+U^2\displaystyle \frac{\partial ^2\varphi }{\partial x_1^2}-c^2\Delta \varphi =0,\hbox{ dans }\Omega ,\hbox{ et par exemple:}\\ \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial t}+U[1-\displaystyle \frac{1}{M^2}](e_1,\nu )\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }\hskip-2.84527559055pt= 0\hbox{ sur } \Gamma _ s\hbox{ et }\varphi =0\hbox{ sur }\Gamma _ e,\\ \displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt0\hbox{ sur }\Gamma _0,\hbox{(parois) }, \varphi (x,0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\varphi _0(x)\hbox{ et }\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial t}(x,0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\varphi _1(x) \hbox{ dans }\Omega .\end{array}} \]

 

 $M=(e_1,\nu )U/c$ est le nombre de Mach. Pour $M=0$ on peut avoir une paroi en $\Gamma _ e$ ou/et $\Gamma _ s$ ($\displaystyle \frac{\partial \varphi }{\partial \nu }=0$) ou une paroi absorbante ($\varphi =0$).

  \includegraphics[width=4.5cm]{aimages/image11-02.png}