3.3 Erreur sur les constantes de temps

Erreur sur les constantes de temps

Nous discutons sur cet écran de l’erreur de constante de temps entre la solution $T$ et celle du schéma totalement approché (temps et espace). On se place ici encore dans le cas $U=0$ pour simplifier.

La solution du modèle continue est de la forme:

\[ \boxed {T(x,t)=\displaystyle \sum _{i\geq 1}\alpha ^ i(t)w_ i(x)} \]

où les $w_ i$ sont les vecteurs propres solution de:

\[ \boxed {w_ i\in V,\forall v\in V,\lambda _ i m(w_ i,v)=a(w_ i,v),m(w_ i,w_ i)=1,} \]

et $\alpha ^ i $sont de la forme (cas où $r=0$ et $T_{ext}=0$ pour simplifier):

\[ \boxed {\alpha ^ i(t)=\alpha ^ i(0)e^{-\lambda _ i t}} \]

La quantité $\tau =\displaystyle \frac{1}{\lambda _ i}$ s’appelle la constante de temps du mode popre. Dans l’approximation par la MEF, les $\lambda _ i$ sont approchées par les valeurs propres $\lambda ^ h_ i$ de la matrice $A$ par rapport à $M$ (écran 5). Examinons ce qu’elles deviennent dans la discrétisation temporelle.

Constantes de temps approchées

Reprenons le cas simplifié où $r=0$, $T_{ext}=0$ et $U=0$. Le schéma de Wilson explicité dans la base propre $\{ e^ h_ i\} $, donne (voir écran 6):

\[ \alpha ^ i_{n}=a^{n}\alpha ^ i_0,\hbox{ avec: }a=\displaystyle \frac{1-\Delta t(1-\theta )\lambda ^ h_ i}{1+\Delta t\theta \lambda ^ h_ i}. \]

La condition de stabilité nous assure que $\vert a\vert \leq 1$, et on a (on fait le calcul pour $a{>}0$):

\[ \boxed {\alpha ^ i_{n}=\alpha ^ i_0e^{\displaystyle \frac{\hbox{Log} (a)}{\Delta t}n\Delta t},} \]

la constante de temps numérique $\tau ^ h_{\Delta t}$ est donc telle que :

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\[ \boxed {\displaystyle \frac{1}{\tau ^ h_{\Delta t}}=-\displaystyle \frac{\hbox{Log}(a)}{\Delta t}=\lambda ^ h_ i+(\lambda _ i^ h)^2\displaystyle \frac{\Delta t}{2}(1-2\theta )+O(\Delta t^2). } \]

On observe que l’approximation est meilleure pour $\theta =.5$. Pour $\theta {<}.5$ la constante de temps est sous-évaluée et le contraire pour $\theta {>}.5$.