3.2 Estimation de l’erreur en temps

Estimation de l’erreur en temps

On introduit les variables d’écart entre la solution obtenue par la discrétisation totale et celle du modèle approché par la MEF:

\[ \delta ^ h_ n=T^ h(n\Delta t)-T^ h_ n\overbrace{(=T^ h(n)-T^ h_ n)}^{\hbox{ notations de l'écran 9}} \]

et on remarque que:

\[ m(\displaystyle \frac{\delta ^ h_{n+1}-\delta ^ h_ n}{\Delta t},v)+a(\theta \delta ^ h_{n+1}+(1-\theta )\delta ^ h_ n,v)=O(\Delta t^ p)(v). \]

Posant: $v=\delta _ n+\delta _{n+1}$ on obtient:

\[ \hskip-5.6905511811ptm(\delta ^ h_{n+1},\delta ^ h_{n+1})-m(\delta ^ h_ n,\delta ^ h_ n)+a(\theta \delta ^ h_ n+(1-\theta )\delta ^ h_{n+1},\delta ^ h_{n+1}+\delta ^ h_ n)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055ptO(\Delta t^ p)(\delta ^ h_{n+1}+\delta ^ h_ n). \]

Un calcul nous conduit à l’estimation d’erreur suivante :

Ouvrir/fermer la video.

\[ \boxed {\vert \vert T^ h_ n-T^ h(n\Delta t)\vert \vert _{0,2,\Omega }^2+\Delta t\displaystyle \sum _{n=0,N_ t}\vert \vert T^ h_ n-T^ h(n\Delta t)\vert \vert _{1,2,\Omega }^2\leq c\Delta t^{2p},} \]

$c$ est une constante. L’erreur totale est obtenue grâce à: $\vert \vert T(n\Delta t)-T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }\leq \vert \vert T(n\Delta t)-T^ h(n)\vert \vert _{0,2,\Omega }+\vert \vert T^ h(n)-T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }.$