2.5 Ordre d’un schéma utilisé

Ordre du schéma utilisé

On introduit les valeurs exactes de la solution de l’équation approchée en espace:

\[ T(x,n\Delta t)\overbrace{=T^ h(n)}^{\hbox{ notation}}\neq T^ h_ n. \]

En injectant dans le schéma d’intégration en temps on obtient, après avoir fait un développement limité :

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\[ \boxed {\begin{array}{l} m(\displaystyle \frac{T^ h(n+1)\hskip-2.84527559055pt-\hskip-2.84527559055ptT^ h(n)}{\Delta t},v)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055pta(\theta T^ h(n+1)\hskip-2.84527559055pt+\hskip-2.84527559055pt(1-\theta ) T^ h(n),v)\hskip-2.84527559055pt-l_ n^\theta (v)\\ \hskip142.263779528pt=O(\Delta t^{p})(v)\\ \hbox{ avec: }\displaystyle \lim _{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle \frac{O(\Delta t^{p})}{\Delta t^{p}}(v)\leq c\vert \vert v\vert \vert _ V\end{array}} \]

Les valeurs de $p$ que l’on appelle l’ordre de la méthode, dépendent de $\theta $. Le schéma est dit consistant (minimum exigé) si $p\geq 1$.

\[ \boxed {\theta \in [0,.5[\cup ].5,1]={>}p=1,\theta =.5={>}p=2.} \]