2.4 Stabilité du schéma de Wilson

Stabilité du schéma de Wilson

En partant de la relation caractérisant $\alpha ^ i_ n$:

\[ \alpha _{n+1}^ i\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt(a_ i)^{n+1}\alpha _0^ i+\displaystyle \frac{\Delta t}{1+\Delta t \theta \lambda _ i}\displaystyle \sum _{k=0,n}L_ k^{\theta ,i}(a_ i)^{n-k}\hbox{ avec: }a_ i\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \frac{1-\Delta t(1-\theta )\lambda _ i}{1+\Delta t \theta \lambda _ i}, \]

on remarque que ces termes sont bornés si :

\[ \vert a_ i\vert \leq 1\hbox{ et si }\Delta t \displaystyle \sum _{k=0,n}L_ k^{\theta ,i}(a_ i)^{n-k} \hbox{ est borné}\forall n\leq N_ f,\Delta t=\displaystyle \frac{t_ f}{N_ f}\forall i\in \{ 1,N\} . \]

C’est le cas si :

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\[ \forall i\in \{ 1,N\} ,\vert a_ i\vert \leq 1\hbox{ et }\displaystyle \int _0^{t_ f} \displaystyle \int _{\Omega }\vert r(x,s)^2\vert dxds{<}\infty . \]

D’où la condition de stabilité :

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\[ \boxed {\begin{array}{l} 0\leq \theta {<} .5\hbox{ schéma est stable ssi: }\forall i\in \{ 1,N\} \Delta t\leq \displaystyle \frac{2}{\lambda _ i(1-2\theta )},\\ .5\leq \theta \leq 1\hbox{ schéma est toujours (inconditionnellement) stable.}\end{array}} \]

On notera que si $h\rightarrow 0,N\rightarrow \infty ={>}\lambda _ i\rightarrow \infty $ d’où l’intérêt d’un schéma inconditionnellement stable.