2.3 Stabilité du schéma en temps

Stabilité du schéma en temps

Soit $T$ la solution de l’équation continue. La solution approchée $T^ h(t)$ est définie aux instants $n\Delta t$ pour lesquels elle vaut $T^ h_ n\in V^ h$.  
Définition Stabilité du schéma :

On suppose que sur l’intervalle de temps $]0,t_ f[$: $T\in L^\infty (]0,t_ f[,L^2(\Omega ))$ (ce qui est le cas si $r\in L^2(]0,t_ f[,L^2(\Omega )),T_{ext}\in L^2(]0,t_ f[;L^2(\partial \Omega ))$). Le schéma permettant de calculer la solution approchée $T^ h_ n$ aux instants $n\Delta t$ est stable si (mais $c$ peut dépendre de $h$): \[ \exists c{>}0, \hbox{ telle que: }\forall n\geq 0,\vert \vert T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }\leq c. \]  
Remarque Variante de la condition de stabilité :

Les fonctions de base de $V^ h$ (construites par la MEF) sont notées $w_ i,i=1,N$ et on a $T^ h(x,n\Delta t)=T^ h_ n=\displaystyle \sum _{i=1,N}X^ i_ nw_ i(x)$$X^ i_ n$ sont les $N$ composantes du vecteur $X^ h_ n$. En posant $c_1=N\displaystyle \max _{i\in \{ 1,N\} }\vert \vert w_ i\vert \vert _{0,2,\Omega }$: \[ \hskip-2.84527559055pt\displaystyle \sup _{n\in \{ 1,Nt\} }\vert \vert T^ h_ n\vert \vert _{0,2,\Omega }\leq c_1\displaystyle \max _{n\in \{ 1,N_ t\} }\displaystyle \max _{i=1,N}\vert X^ i_ n\vert \sim \hskip-2.84527559055pt\displaystyle \max _{n\in \{ 1,N_ t\} }\displaystyle \max _{i=1,N}\vert \alpha ^ i_ n\vert . \]