2.2 Expression théorique du schéma

Expression théorique du schéma

Notons que ($A,M, D$ se diagonalisent dans la même base $\{ e_ i^ h\} $):

\[ \boxed {\begin{array}{l}X^ h_{n+1}=DX^ h_ n+E_ n^ h,D=[M+\Delta t\theta A]^{-1}[M-\Delta t(1-\theta )A],\\ E_ n^ h=\Delta t[M+\Delta t\theta A]^{-1}L^\theta _ n.\end{array}} \]

Dans la base $\{ e^ h_ i\} $ des vecteurs propres, en posant :

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\[ X^ h_{n}=\displaystyle \sum _{i=1,N}\alpha ^{i}(t)e^ h_ i,\hbox{ et }L^\theta _ n=\displaystyle \sum _{i=1,N}L^{\theta ,i}_ ne^ h_ i, \]\[ \boxed {\alpha _{n+1}^ i=\displaystyle \frac{1-\Delta t(1-\theta )\lambda ^ h_ i}{1+\Delta t \theta \lambda ^ h_ i}\alpha ^ i_ n+\displaystyle \frac{\Delta t L^{\theta ,i}_ n}{1+\Delta t\theta \lambda ^ h_ i},} \]

soit:

\[ \hskip-8.53582677165pt\boxed {\alpha _{n+1}^ i\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt(a_ i)^{n+1}\alpha _0^ i+\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \frac{\Delta t}{1+\Delta t \theta \lambda ^ h_ i}\hskip-1.42263779528pt\displaystyle \sum _{k=1,n}L_ k^{\theta ,i}(a_ i)^{n-k}\hbox{ avec: }a_ i\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055pt\displaystyle \frac{1-\Delta t(1-\theta )\lambda ^ h_ i}{1+\Delta t \theta \lambda ^ h_ i}.} \]