2.1 Discrétisation en temps

Discrétisation en temps

La résolution de l’équation différentielle en temps peut (doit) se faire à l’aide d’une discrétisation en temps. On note: $\Delta t=t_ f/N_ t$.
On note $T^ h_ n$ une approximation de $T^ h$ à l’instant $n\Delta t$. On part de $T^ h_0=\pi T_0\in V^ h$ pour $\theta \in [0,1]$ on passe de $T^ h_ n$ à $T^ h_{n+1}$ par le schéma dit de Wilson (on note: $l_ n^\theta (v)=(1-\theta )l(n\Delta t)(v)+\theta l((n+1)\Delta t)(v)$): \[ \boxed {\forall v\in V^ h,m(\displaystyle \frac{T^ h_{n+1}-T^ h_{n}}{\Delta t},v)+a((1-\theta )T^ h_{n}+\theta T^ h_{n+1},v)=l_ n^\theta (v).} \] Il s’agit d’un problème matriciel. On dit que le schéma est explicite pour $\theta =0$ et implicite sinon. $N_ t$ est le nombre de pas de temps.
Si $M$ et $A$ sont les matrices associées aux formes bilinéaires $a(.,.)$ et $a(.,.)$ ainsi que $X^ h_ n$ et $L_ n^\theta $ les vecteurs de ${\mathbb R}^ N,(N=\hbox{dimension de }V^ h)$, associés à la fonction $T^ h_ n\in V^ h$ et à la forme linéaire $l$, l’algorithme est:

\[ \boxed {[M+\Delta t\theta A]X^ h_{n+1}=\Delta t L^\theta _ n+[M-\Delta t(1-\theta )A]X^ h_ n].} \]

Pour une résolution par une méthode directe, la matrice $M+\Delta t\theta A$ sera factorisée une fois pour toutes si $\Delta t$ est choisi constant. Pour $\theta =.5$ le schéma s’appelle celui de Crank-Nicholson.