1.2 Estimation d’erreur en espace

Estimation d’erreur en espace ($U=0$)

Notons $\overline{T}^ h=T^ h-T$ (variable d’écart). On a alors, puisque $V^ h\subset V$:

\[ \boxed {\hskip-1.13811023622pt\forall v\in V^ h,m(\displaystyle \frac{\partial \overline{T}^ h}{\partial t},v)+a(\overline{T}^ h,v)\hskip-2.84527559055pt=0,\overline{T}^ h(x,0)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055ptm(T_0,w_ i)w_ i(x)-T_0(x).} \]

On pose alors $v= \pi T-T^ h$$\pi $ est l’opérateur d’interpolation de $H^2(\Omega )\cap V$ dans $V^ h$ (voir cours 8). Ceci nous conduit à:

\[ \hskip-2.84527559055ptm(\displaystyle \frac{\partial \overline{T}^ h}{\partial t}, \overline{T}^ h)+a(\overline{T}^ h,\overline{T}^ h)\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055ptm(\displaystyle \frac{\partial \overline{T}^ h}{\partial t}, (\pi T-T))+a(\overline{T}^ h, (\pi T-T)) \]

En utilisant Cauchy-Schwarz, en faisant appara\^\i tre la dérivée exacte du premier terme, on obtient après un calcul détaillé dans :

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\[ \boxed {\begin{array}{l}\forall t\geq 0,\vert \vert \overline{T}^ h(t)\vert \vert _{0,2,\Omega }^2+\displaystyle \int _0^ t\vert \vert \overline{T}^ h(s)\vert \vert _{1,2,\Omega }^2ds\leq d[ h^2(e^{2t}-1)+h^4e^{2t}],\\ d\hskip-2.84527559055pt=\hskip-2.84527559055ptc[(1+h^2)\displaystyle \sup _{s\in [0,t]} \vert T\vert _{2,2,\Omega }^2+h^2\displaystyle \int _0^ t\vert \dot T(s)ds\vert _{2,2,\Omega }^2+\displaystyle \int _0^ t\vert T\vert _{2,2,\Omega }^2(s)ds],\\ \hbox{ c indépendante de } h, \hbox{ de } t \hbox{ et de } T. \end{array}} \]