2.3 Régularisation instantanée de la température

Régularisation parabolique

On se place pour simplifier dans le cas où $r=0$. Le modèle admet une solution même si la donnée initiale est irrégulière (par exemple $L^2(]0,L[)$ mais $\notin {\cal C}^0([0,L])$). Le point nouveau est le résultat remarquable suivant:

Théorème

Soit $T$ la solution du modèle thermique considéré dans ce cours 1. Alors pour tout $t{>}0$ cette solution est ${\cal C}^\infty ([0,L])$. On a aussi la régularité en $t$ mais sur $[t_0,\infty [$$t_0{>}0$

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Remarque :

Cet effet très surprenant a priori est une propriété des problèmes paraboliques. D’un point de vue physique elle s’interprète par un adoucissement instantané des chocs thermiques qui ne dispara\^\i t que dans la prise en compte d’un effet de convection (transport).