2.2 Comportement asymptotique en temps

Le modèle stationnaire comme limite

On considère le modèle stationnaire (sans le temps et $k, q$ et $r$ sont supposés constant en temps):

\[ \boxed {\begin{array}{l}-\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}(k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x})=r,\: T(0)=0,k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}(L)=q.\end{array}} \]

La solution explicite (exercice) est:

\[ T^\infty (x)=\displaystyle \frac{1}{k}[\displaystyle \int _0^ x\displaystyle \int _ s^ Lr(\xi )d\xi ds+xq]. \]

Théorème

Soit $T$ la solution du modèle:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}-\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}(k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x})=r,\\ T(0,t)=0,k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=q,T(x,0)=T_0(x).\end{array}} \]

On a alors: $\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }T=T^\infty ,\hbox{ au sens de la norme }L^2(]0,L[),$

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