2.1 Principe du maximum

Les fenêtres de température

On se place (pour simplifier) dans le cas $r=q=0$. On note $T_{min}$ et $T_{max}$ les minimum et maximum de la température initiale $T_0$.

Théorème

Soit $T$ la solution du modèle:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}-\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}(k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x})=0,\\ T(0,t)=0,k\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}(L,t)=0,\\ T(x,0)=T_0(x), ~ T_0(0)=0.\end{array}} \]

Elle vérifie en tout point et à tout instant:$\boxed {T_{min}\leq T\leq T_{max}.}$

 
La preuve consiste à montrer que les fonctions:

\[ T^+=\max (T-T_{max},0)\hbox{ et }T^-=\min (T-T_{min},0), \]

sont nulles. Elle est explicitée dans la vidéo:

Ouvrir/fermer la video.