1.3 Résolution analytique

Résolution par séparation des variables

La stratégie est générique. On commence par résoudre le système homogène mais sans condition initiale. Cherchons une solution séparant les variables de temps $t$ et d’espace $x$:

\[ T(x,t)=f(t)g(x), \]

ce qui nous conduit à (on suppose $\varrho c_ v$ et $k$ constants)

\[ \overbrace{\displaystyle \frac{1}{f(t)}\displaystyle \frac{df}{dt}(t)}^{\hbox{ uniquement fonction de $t$}}-\overbrace{\displaystyle \frac{k}{\varrho c_ v g}\displaystyle \frac{d^2 g}{dx^2}(x)}^{\hbox{ uniquement fonction de $x$}}=0,g(0)=0\hbox{ et }\displaystyle \frac{dg}{dx}(L)=0. \]

On peut donc poser ($\lambda $ est une constante pour l’instant inconnue):

\[ \displaystyle \frac{df}{dt}+\lambda f=0 \hbox{ et }\displaystyle \frac{d^2g}{dx^2}+ \displaystyle \frac{\lambda \varrho c_ v}{k} g=0. \]

En utilisant les conditions aux limites: $\lambda =\displaystyle \frac{k}{\varrho c_ v}(\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{2L})^2,$ et:

\[ \hskip-11.3811023622ptg(x)=A_ n\sin (\displaystyle \frac{(2n+1)\pi x}{2L}),f(t)=B_ n\exp (-\displaystyle \frac{k}{\varrho c_ v}(\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{2L})^2t). \]

suite du calcul...

En résumé, on a trouvé une solution paramétrée par l’entier $n\in {{\mathbb N}}^{*}$ et la constante $C_ n=A_ nB_ n$ telle que:

\[ \boxed {T_ n(x,t)=C_ n\exp (-\displaystyle \frac{k}{\varrho c_ v}(\displaystyle \frac{(2n+1)\pi }{2L})^2t)\sin (\displaystyle \frac{(2n+1)\pi x}{2L}),C_ n\in {\mathbb R}.} \]

On peut ensuite rechercher les coefficients $C_ n$ de façon à satisfaire la condition initiale. Le problème posé est donc de pouvoir écrire:

\[ \boxed {T_0(x){=}{?}\displaystyle \sum _{n\in {\mathbb N}}C_ n\sin (\displaystyle \frac{(2n+1)\pi x}{2L}).} \]

La réponse est positive et conséquence du théorème sur les séries de Fourier. Plus précisément on a:

\[ \boxed {C_ n=\displaystyle \frac{2}{L}\displaystyle \int _0^ L T_0(x)\sin (\displaystyle \frac{(2n+1)\pi x}{2L})dx.} \]