1.2 Unicité

Unicité d’une solution régulière

Supposons qu’il y ait deux solutions, $T^1$ et $T^2$. Comme le modèle est linéaire, la différence $\delta T=T^2-T^1$ vérifie le système homogène:

\[ \boxed {\begin{array}{l}\varrho c_ v\displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial t}-\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}(k\displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial x})=0,\\ \delta T(0,t)=0,k\displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial x}(L,t)=0,\\ \delta T(x,0)=0.\end{array}} \]

En multipliant par $\delta T$ et en intégrant entre $0$ et $L$:

\[ \displaystyle \frac{\partial }{\partial t}\{ \displaystyle \int _{0}^{L}\displaystyle \frac{\varrho c_ v}{2}\vert \delta T\vert ^2\} +\displaystyle \int _0^ L k\vert \displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial x}\vert ^2\overbrace{-[k\displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial x}\delta T]_0^ L}^{\hbox{ ce terme est nul!}}=0. \]

Enfin en intégrant de $0$ à $t{>}0$ (temps arbitraire):

\[ \displaystyle \int _{0}^{L}\displaystyle \frac{\varrho c_ v}{2}\vert \delta T\vert ^2(t)+\displaystyle \int _0^ t\displaystyle \int _0^ L k\vert \displaystyle \frac{\partial \delta T}{\partial x}\vert ^2=0. \]

Ce qui permet de conclure que $\delta T=0$.